Nota: Todas las entradas Lo incontable es lo que cuenta están tomadas en su mayor parte del libro Cantor El infinito en matemáticas escrito por Gustavo Ernesto Piñeiro Editorial RBA
La teoría
matemática del infinito (y la teoría de conjuntos, que son esencialmente la
misma) es el fruto del talento y la imaginación de un solo hombre, que la creó
casi de la nada El matemático ruso-alemán Georg Cantos (1845 - 1918)
Para comprender la diferencia imaginemos una computadora que esté programada para escribir, uno por uno, todos los números naturales (0,1,2,3, 4...) por tiempo indefinido. ¿es infinita la colección de todos los números anotados por la computadora luego, supongamos, de cien años? La respuesta es sí, es infinita, pero solo en un sentido potencial. La colección de los números anotados no es una colección estática, sino que está en constante crecimiento, un crecimiento sostenido que no se detendrá jamás. Si fijamos un instante cualquiera en el tiempo, no importa lo lejano en el futuro que esté, la colección de todos los números escritos será finita, pero seguirá siempre creciendo sin limitaciones.
Hablamos entonces de un infinito en potencia, o potencial, cuando
pensamos en una colección que es siempre finita, pero que puede ser aumentada
indefinidamente sin restricciones. La infinitud está pensada en este caso como
una propiedad negativa, asociada a la imposibilidad de completar una tarea.
Pero pensemos ahora en la colección formada por todos los números naturales,
absolutamente todos sin excepción. Se trata obviamente de una colección que es
también infinita, pero en este caso se trata de un infinito estático,
completo. En esta nueva colección están todos los números, no queda ya nada
por agregar. Hablamos en este caso de un infinito en acto o infinito
actual.
Si dibujamos, por ejemplo, un segmento su longitud será finita, pero la
geometría nos dice que podemos prolongar esa línea tanto como queramos, y si
admitimos que esa prolongación puede seguir indefinidamente, tendremos un trazo
de línea cuya longitud es infinita en potencia.
Sin embargo, las rectas que considera la geometría moderna tienen una longitud que se supone infinita en acto.
Hasta
donde se sabe, todas las colecciones relacionadas con fenómenos naturales nunca
son infinitas en acto, por el contrario, la mayoría son finitas y unas pocas
son, quizás, infinitas en potencia.
Si
resulta cierto que el universo continuará expandiéndose de modo indefinido,
entonces la edad medida en segundos también sería potencialmente infinita.
El
infinito de Aristóteles
Aristóteles fue el primero en
estudiar la distinción que hay entre "ser en potencia" y "ser en
acto". Por ejemplo, podemos decir que un niño es un adulto en potencia o
que un bloque de mármol es potencialmente una escultura. Cuando el niño crece
se transforma, en acto, en un adulto.
Aristóteles dice: "la
potencia respecto al infinito no es de una naturaleza tal que el acto pueda
jamás realizarse."
Es decir, el infinito siempre es
en potencia, nunca en acto. Este rechazo aristotélico al infinito en acto fue
sostenido por casi toda la ortodoxia del pensamiento occidental, tanto
filosófico como matemático.
En el Libro III de su Física,
Aristóteles dice que no hay en el universo un cuerpo cuyo volumen sea
actualmente infinito en acto o un intervalo de tiempo cuya longitud sea
actualmente infinita. En otras palabras, nos dice que no existen magnitudes que sean
infinitas en acto. Aristóteles justifica esta inexistencia mediante argumentos
filosóficos.
Dado que no existen magnitudes infinitas, tampoco tiene sentido hablar de
"números infinitos en acto" o de "cantidades infinitas
en acto", pues esas cantidades infinitas no medirían nada, carecería
de todo sentido.
En el libro VIII de su Física, afirma que no es cierto que
un segmento esté formado por una cantidad infinita de puntos. Un punto
matemático tiene por definición una longitud que es exactamente igual a cero.
Si reunimos muchos puntos, la longitud total que obtendremos serás 0+0+0+0+...
ya sea una cantidad finita o infinita de puntos la longitud total que
obtendremos seguirá siendo siempre cero. En conclusión, si un segmento
estuviera formado por puntos, su longitud total sería cero, por lo tanto, no
pueden estar formados por puntos.
Como consecuencia de este
razonamiento, sería imposible dividir un segmento en una cantidad infinitas de
partes, pues en ese caso cada una de ellas mediría 0 cm.
Resumiendo: Aristóteles niega el infinito por división (no hay cantidades
infinitamente pequeñas) mientras que también niega el infinito por adición (no
hay cantidades infinitamente grandes). En todos los casos, Aristóteles concluye
que el infinito en acto no existe.
El infinito de Galileo
A partir de la Edad Media, el rechazo aristotélico
al infinito en acto adquirió además una dimensión religiosa. por ejemplo, en el
siglo v, san Agustín en La ciudad de Dios, argumenta " la
infinitud del número no es incomprensible para aquel cuya inteligencia no tiene
límite". Es decir, el infinito en acto existe, pero su conocimiento está
reservado a la inteligencia ilimitada de Dios, luego, pretender que la mente
humana pueda comprender el infinito sería equipararla con la mente divina y,
por lo tanto, una herejía.
Galileo Galilei
(1564-1642) se dedica a demoler buena parte a las leyes aristotélicas del
movimiento, mantiene sin embargo la suspicacia aristotélica hacia el infinito
en acto. Veamos sus argumentos, que de alguna manera prefiguran ideas
posteriores de Cantor.
Si tenemos dos colecciones finitas y podemos
emparejar cada miembro de una colección con exactamente un miembro de la otra,
de modo que no sobre ninguno, entonces podemos asegurar que las dos colecciones
tienen exactamente la misma cantidad de miembros. Galileo extiende esta idea
a colecciones infinitas.
Considera dos colecciones infinitas particulares, la que está formada por los números naturales 1, 2, 3, 4, 5…, y, por otro lado, la colección de los números cuadrados, que son aquellos que se obtienen multiplicando cada número natural por sí mismo, 1, 4, 9, 16, 25….
Es evidente, dice Galileo, que los números
naturales (cuadrados y los no cuadrados, todos reunidos), son más que los
números cuadrados por si solos.
Por otra parte, sigue diciendo Galileo, es posible
emparejar perfectamente cada número de la primera colección (naturales) con un
número de la segunda colección (números cuadrados). para lograrlo basta asociar
cada número natural con su cuadrado:
Este emparejamiento nos diría que hay la
misma cantidad de cuadrados que números naturales, Contradiciendo lo que
dijimos antes en el sentido de que hay más naturales que cuadrados. La
respuesta a esta paradoja que da Galileo es:
Los atributos de "igual",
"mayor" y "menor" no tienen lugar en los infinitos, sino
solo en las cantidades limitadas (o sean finitas)
En otras palabras, su conclusión es que es un
absurdo comparar colecciones infinitas.
No obstante, unos 250 años más tarde, Georg Cantor
se atrevió a medir y a comparar colecciones infinitas.
El infinito de Cantor. Cardinales
Aristóteles, Galileo y muchos otros pensadores anteriores al siglo XIX estaban de acuerdo en afirmar que no tiene ningún sentido hablar de la cantidad de miembros de una colección infinita.
Una de las primeras definiciones de la teoría de Cantor dice que dos
colecciones de objetos son coordinables si es posible emparejar a cada miembro
de una de ellas exactamente con un miembro de la otra, sin que sobre nada por
ninguna de ambas partes; tal como vimos que hizo Galileo con la colección de
los números naturales y la de números cuadrados.
La teoría de Cantor se basa en la idea de que,
contrariamente a lo que pensaba Galileo, es posible extrapolar este concepto a
colecciones infinitas en acto sin que haya en ello ninguna contradicción.
Si dos colecciones son coordinables, entonces
tienen la misma cantidad de miembros. Sin embargo, hablar de la "cantidad
de miembros" de una colección infinita en acto se presenta a confusión
porque como diría Aristóteles, no hay número que exprese esa cantidad. (el
símbolo ∞ representa un
infinito en potencia, no en acto).
El cardinal de una colección es, para Cantor, la
característica de ella que subsiste si se hace abstracción de la naturaleza de
los miembros de la colección, así como de las relaciones que hubiera entre
ellos. Cantor lo amplió a conjuntos infinitos, ya que para conjuntos finitos el
concepto de cardinal es trivial.
Si hablamos de la colección formada por las letras
de la palabra "cielo", su cardinal, según la definición de Cantor,
podría escribirse # # # # #, los símbolos representan a los miembros de la
colección haciendo abstracción de su naturaleza. El cardinal de la colección
3,4,5,8,9 también sería # # # # #. Ambas colecciones tienen el mismo cardinal
(cinco miembros)
El cardinal de la colección de los números
naturales sería # # # # # ... (siguen infinitamente), que es también
el cardinal de los números cuadrados.
Podemos decir que, si dos colecciones son coordinables, entonces tienen
el mismo cardinal.
Cantor responde a la paradoja de Galileo diciendo
que sí es cierto que la colección de los números cuadrados es solo una parte de
la colección de los números naturales, pero es incorrecto deducir de este hecho
que hay más naturales que cuadrados.
Cuando se trata de colecciones infinitas,
el todo no es necesariamente mayor que la parte, es decir, para colecciones
infinitas en acto no valen siempre las mismas reglas que para las colecciones
finitas.
La clase compuesta por los números naturales
cuadrados es un conjunto entresacado de la clase de todos los
números naturales, pero el "entresacar" no tiene el más leve
efecto sobre su cardinalidad.
Para Richard Dedekind (1831-1916), una colección infinita en acto debía definirse como aquellas que es coordinable con alguna parte de sí misma (propiedad que, en efecto, tienen todas las colecciones infinitas en acto y solamente ellas).