Un problema simple sin resolver

Quizás el nombre más común sea la conjetura de Collatz, pues fue el matemático alemán Lothar Collatz quien primero la propuso en 1937.

A la secuencia de números involucrada se le conoce como números de granizo (el valor de los sucesivos números asciende y desciende de manera aparentemente errática, como lo hacen las bolitas de granizo en el interior de las nubes, hasta que llega un momento en que se precipitan hacia tierra). 

Quizás el nombre más descriptivo sea: la conjetura de 3n + 1.

Aquí está el problema:

Empiezas con un número entero natural cualquiera (1, 2, 3, 4, 5...).

  - Si el número es par, lo divides por 2

  -Si es impar, lo multiplicas por 3 y le sumas 1

Después, le aplicas esas mismas sencillas reglas al resultado

Lo que desconcierta es que no importa con cuál número empieces, eventualmente siempre llegarás al 4 que se convierte en 2 y termina en 1.

Ejemplo:

Empecemos con 10, que es par.

10 ÷ 2 = 5, que es impar, así que aplicamos la segunda regla.

5 x 3 = 15 + 1 = 16.

Como es par... 16 ÷ 2 = 8

8 ÷ 2 = 4

4 ÷ 2 = 2

2 ÷ 2 = 1

La conjetura dice que siempre alcanzaremos el 1 (y por tanto el ciclo 4, 2, 1) para cualquier número con el que comencemos.

Supercomputadoras lo han hecho con números que van hasta más o menos 5 764 607 500 000 000 000 

No obstante, como los números son infinitos, eso no prueba que ese sea el caso para todos los números naturales.

Pero como no se ha podido encontrar una excepción, tampoco hay prueba de que no sea así.

La mayor cantidad de escalas que hace un número inicial menor de 100 millones para llegar a 4, 2, 1 es 986.

Pero mientras que, por ejemplo, para los múltiplos de 2 el viaje es más corto, otros toman más tiempo.

Un ejemplo citado a menudo es la comparación entre los números 8.192  y  27.

Al 8.192 le toma 13 pasos llegar al ineludible final: 4, 2, 1.

El número 27 no sólo toma 112 pasos en llegar sino que en el camino sube hasta 9.232 antes de poder alcanzar el 4, 2, 1.

Empezando n = 27, la sucesión tiene 112 pasos, llegando hasta 9232 antes de descender a 1: 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

La falta de patrones dificulta aún más resolver una conjetura ya tachada de imposible.

Los matemáticos sospechan que solucionar la conjetura de Collatz abrirá nuevos horizontes y desarrollará nuevas e importantes técnicas en la teoría de los números.

Otra razón es que, por ser fácil de presentar y entender, tienen el potencial de atraer a los jóvenes a las matemáticas.